Problemskak og edb II (fra TD 21) v/ Steen Christensen Tilbage til forsiden

Her følger løsningen på opgave nr. 4 fra Problemskak og edb I:

  1. Holdes et fast felt ubesat kan 7 brikker, uanset type, placeres på 7! måder omkring den sorte konge. Da 6 af de 7 brikker er parvis ens må tallet divideres med 2! x 2! x 2!, hvilket giver 630 forskellige måder. Imidlertid er kun 12/21 af disse legale stillinger, da ensfarvede løbere ikke er tilladt. Det endelige antal bliver derfor 360. Denne sidste reduktion ses lettest ved at placere de 2 løbere på fx. 1.række og lade h1 være ubesat. Løberne kan placeres på 21 måder (matematisk 7 over 2), men kun de 12 (nemlig a1b1, a1d1, a1f1, b1c1, b1e1, b1g1, c1d1, c1f1, d1e1, d1g1, e1f1 og f1g1) er legale.

  2. Diagram 1: Eksempel


    1+1

    Nummereres felterne omkring kongen som vist på diagram 1 er eneste kriterie for mat, at 1. felt ikke er besat af D eller L og 2. felt ikke af D eller T, svarende til følgende 4 lovlige kombinationer på felt 1 og 2: TL, TS, SL, SS.
    Man må desuden bemærke, at der ikke er lige stor sandsynlighed for fx. et T på 1. og 2. felt. Dette skyldes atter de uensfarvede løbere. Af de 12 lovlige placeringer af 2 løbere på 7 felter (jvf. A) vil en løber være placeret på a1 i 1/4 af tilfældene og b1 vil være besat i 1/3. Generelt for de 4 briktyper gælder det, at sandsynligheden for forekomst på 1., 3., 5. og 7. Samt 2., 4. og 6. felt er gruppevis ens, og de enkelte sandsynligheder samt den totale andel af de 360 stillinger kan aflæses af følgende tabel:

    felt D T S L
    1, 3, 5, 7 1/5 x 3/4 = 3/20 (54) 2/5 x 3/4 = 3/10(108) 2/5 x 3/4 = 3/10(108) 1/4 (90)
    2, 4, 6 1/5 x 2/3 = 2/15 (48) 2/5 x 2/3 = 4/15 (96) 2/5 x 2/3 = 4/15 (96) 1/3(120)

    Sandsynligheden for forekomst af fx. en dronning på 1. felt fås ved at multiplicere sandsynligheden for, at det ikke er en løber (1-1/4 = 3/4) med sandsynligheden for at man vælger en dronning af de resterende 5 brikker (DTTSS).
    På lignende måde kan de 4 matgivende kombinationer beregnes. Sandsynligheden for TL fås ved at multiplicere sandsynligheden for et T på 1. felt med sandsynligheden for at man vælger en L af de resterende 6 brikker (DTLLSS), nemlig 2/6. Figuren giver de ønskede andele med det faktiske antal i parentes.

    TL TS SL SS
    3/10 x 2/6 = 1/10 (36) 3/10 x 2/6 = 1/10 (36) 3/10 x 2/6 = 1/10 (36) 3/10 x 1/6 = 1/20 (18)

    Ialt fås 126 matgivende stillinger.
Til besvarelse af C-F er udviklet et program, der systematisk undersøger de mulige placeringer af kombinationen sort konge, ubesat felt og hvid bonde. Der findes ialt 37 sådanne placeringer. Den sorte konge er undersøgt på felterne i rektanglet b4-b7-d7-d4. Når en placering er valgt undersøges enhver af de 126 grupperinger af de sorte officerer og endelig forsøges hvid konge placeret på ethvert ubesat og udækket felt. Den hvide konge må ikke placeres umiddelbart op ad de sorte officerer, der da blot kan trække væk.
Ialt har har programmet undersøgt 37 x 126 x 35 x 25 ~ 4 millioner træk, hvor 35 er det gennemsnitlige antal sorte træk og 25 det gennemsnitlige antal af placeringer af hvid konge.
  1. Diagram 2:
    Steen Christensen & NCR-8430
    Original

    H#244.1.1.12+8

    Af de 126 stillinger som svar på B viser opgave nr. 2 den maksimale med hvid konge på h8 og hvid bonde på d7, ialt 44 switchbacks.
    Bemærk, at kun 72 af de 126 skal undersøges, da sLd4 og sDd4 siger skak til hvid konge.
  2. Diagram 3:
    Steen Christensen & NCR-8430
    Original


    H#246.1.1.12+8

    Den hvide konge placeres på b8 og de sorte officerer som vist i opgave nr. 3, hvorved man opnår en H#2 med 46 sorte switchbacks.
  3. Hvis det ubesatte felt gøres frit findes der 6 grundstillinger med sKc5, nemlig Ub4-Bb7, Ub6-Bf7, Ub6-Bb7, Ud6-Bd7, Ud4-Bf7 og Ud4-Bd7 (U står for ubesat felt).
    At der ikke nødvendigvis findes en entydig stilling med det højeste antal switchbacks viser dette spørgsmål, idet der opnås 48 for stillingerne:
    Ka8 Bd7 - Kc5 Dd4 Tb5 Td6 Lb6 Lc4 Sc6 Sd5.
    Kd1 Bb7 - Kc5 Dd6 Tb5 Tc4 Ld4 Ld5 Sb6 Sc6.
    Begge H#2, 48.1.1.1.

  4. Diagram 4:
    Steen Christensen & NCR-8430
    Original


    H#251.1.1.12+8

    Det højeste antal switchbacks i en hjælpemat i 2 træk med hvid bondeforvandling til springer og sort konge omgivet af de 7 øvrige officerer fås med stillingen vist i opgave nr. 4.
    Det er bemærkelsesværdigt, at stillingen er entydig, bortset fra spejlingen.
    50 sorte switchbacks fås i 5 stillinger:
    Kg8 Bf7 - Kd4 Dc3 Tc4 Td5 Le4 Le5 Sd3 Se3, Ke8 Bf7 - Kd4 De3 Tc4 Td5 Le4 Le5 Sc3 Sd3, Ka8 Bb7 - Kd4 De3 Td5 Te4 Lc5 Ld3 Sc3 Sc4, Kd8 Be7 - Kc4 Dd3 Tb4 Tc5 Ld4 Ld5 Sb3 Sc3, Ka8 Be7 - Kd5 De4 Td6 Te5 Lc4 Ld4 Sc5 Sc6, alle H#2, 50.1.1.1
    Man kan spørge sig selv, om det fundne resultat generelt er maksimum for H#2. Sandsynligvis kan antallet presses højere op, men da må man forsøge med et andet skema end det valgte.