Problemskak og edb III (fra TD 62) v/ Steen Christensen Tilbage til forsiden

Denne artikel starter, hvor den første slap, nemlig med undersøgelse af identiske brikkers placering på et skakbræt. Hvor få og hvor mange felter er det muligt at gardere med et bestemt antal brikker?

Diagram nr 1
Steen Christensen
Feenschach okt-nov 1986

Minimum 16 felter dækket 4+0


Som eksempel kan vises nr. 1, hvor fire natryttere som minimum må dække 16 felter. Stillingen er den eneste der findes og er for øvrigt fuldt symmetrisk. Desuden er den sammen med fire springeres minimumsgardering det eneste allerede publicerede resultat af den undersøgelse, der her skal beskrives nærmere.
At placere fx. en springer på et skakbræt og finde ud af, at den som minimum nødvendigvis må gardere to felter, og at der findes fire sådanne stillinger ved enhver skakspiller. At finde maximumdækningen otte felter for en springer, samt erkende, at der er 16 sådanne stillinger er ligeledes banalt. Men prøv så selv at finde fire springeres minimumsdækning samt antallet af stillinger. Så er det pludselig noget sværere. Det rigtige svar blev i hvert fald kun fundet af fem løsere, og resultatet i diagram 1 kun af én enkelt, da opgaven blev publiceret i FEENSCHACH !

Derfor satte jeg mig den opgave at lave et computerprogram, som kunne undersøge samtlige placeringer af fra én til otte springere, natryttere og dronninger. Andre briktyper kan naturligvis også undersøges, men resultatet nok knap så spændende som for de valgte.
Tekniske detaljer omkring programmet skal udelades her, blot kan det nævnes, at der undersøges ikke færre end 975.362.534 forskellige placeringer med otte brikker på brættet. Det teoretiske maximum for otte brikker er ca. 4.4 milliarder stillinger, men en del symmetriske kan udelades.
Resultatet efter adskillige ugers køretid kan aflæses af følgende:

Tabel 1
1 2 3 4 5 6 7 8
min max min max min max min max min max min max min max min max
Sp 2 8 4 16 6 24 8 32 10 36 11 40 13 44 14 48
Na 6 12 12 24 16 34 16 44 20 50 24 56 27 60 29 64
Dr 21 27 33 44 39 54 40 61 47 64 49 - 51 - 53 -

Tallene 1 - 8 angiver antal brikker, og "Sp" er springer, "Na" natrytter og "Dr" dronning. Det kan fx. ses, at fem natryttere mindst må dække 20 felter og højst kan dække 50 felter.
Til tabel 1 kan man bemærke følgende:
Programmet er kørt to gange: Første gang for at finde tallene i tabel 1, anden gang for at printe de fundne stillinger ud.
I tabelform kan antallet af minimums- og maximumsstillinger præsenteres som:

Tabel 2
1 2 3 4
min. max. min. max. min. max. min. max.
G F G F G F G F G F G F G F G F
Sp 1 4 3 16 2 6 12 72 1 4 8 64 3 13 3 16
Na 1 4 3 16 11 56 4 24 8 40 8 52 1 1 3 9
Dr 4 28 1 4 6 48 1 4 3 24 1 8 1 1 2 16


5 6 7 8
min. max. min. max. min. max. min. max.
G F G F G F G F G F G F G F G F
Sp 9 64 36 288 1 8 199 1504 4 32 246 1904 1 4 135 964
Na 1 4 8 64 4 18 5 32 3 20 10 80 1 4 10 62
Dr 2 16 56 352 2 16 - - 1 8 - - 7 48 - -

I tabel 2 læses "G" som antallet af grundstillinger og "F" som antallet af forskellige stillinger. En grundstilling er en stilling, som ikke ved drejninger eller spejlinger kan afledes af nogen anden grundstilling. Således findes for fire springere, der som maximum kan dække 32 felter på 16 forskellige måder, kun tre grundstillinger.
Flere af de viste resultater er allerede kendte. Således har man længe vidst, at otte dronninger som minimum dækker 53 felter, og at der findes syv grundstillinger (se TD 2/18/43). Til gengæld bekymrede det mig længe, at "SCHACH UND ZAHL" (side 55) angiver, at der findes 4860 forskellige stillinger med fem dronninger dækkende samtlige 64 felter, idet mit program jfr. tabel 2 fandt, at der kun findes 352 forskellige stillinger. Grunden fandt jeg i J. Gik: "SCHACH . MATHEMATIK", der noget mere udførligt omtaler, at de fem dronningers egne felter ikke nødvendigvis skal være dækket. For øvrigt har en specialversion af programmet verificeret, at tallet 4860 er korrekt. At det har været muligt at finde dette ved håndkraft er duperende. Antallet af grundstillinger er for øvrigt 638.
At gengive samtlige grundstillinger for både springer, natrytter og dronning samt deres minimums- og maximumsstillinger, er umuligt på denne plads. Jeg har udvalgt en række af de for mig mest bemærkelsesværdige resultater. De mest unikke er vist på diagram, resten i notation. Interesserede i samtlige stillinger kan henvende sig til artiklens forfatter.

Diagram nr 2
Steen Christensen
Original

Minimum 14 felter dækket 8+0
Diagram nr 3
Steen Christensen
Original

Minimum 29 felter dækket 8+0


Diagram nr 4
Steen Christensen
Original
Minimum 51 felter dækket 7+0


Springer:
3 min 6 felter: (a1, h1, a8)
4 min 8 felter: (a1, h1, a8, h8), (a1, e1, h4, h8), (a1, c1, e1, g1)
4 max 32 felter: (c3, f3, d5, e5), (d3, e3, c5, f5), (c3, d3, e5, f5)
6 min 11 felter: (a1, c1, e1, g1, h4, h8)


Natrytter:
4 max 44 felter: (d4, e4, d5, e5), (c3, d3, c4, d4), (d3, e3, d4,e4)
5 min 20 felter: (a1, b2, g2, b7, g7)
8 max 64 felter: (d3, e3, d4, e4, d5, e5, d6, e6), (c2, d2, e2, f2, c6, d6, e6, f6)
(c1, c2, f2, d5, e5, d6, e6, f6), (c1, c2, d5, e5, f5, d6, e6, f6)
(c1, f2, c5, d5, e5, d6, e6, f6), (c1, c5, d5, e5, f5, d6, e6, f6)
(c2, d2, c3, d3, e3, f6, e7, f7), (c2, d5, e5, f5, c6, d6, e6, f6)


Dronning:
4 min 40 felter: (a1, h1, a8, h8)
4 max 61 felter: (b2, f2, d5, e6), (b2, f2, d5, d7)
5 min 47 felter: (a1, b1, b2, c2, a6), (a1, c1, e1, c3, e3)
6 min 49 felter: (a1, b1, b2, c2, a6, b6), (a1, c1, e1, a3, c3, e3)